第10章 难题

新一周的校外辅导课如期而至，段玉玉怀着期待又紧张的心情来到教室。她期待着能和林泽一起学习探讨，又紧张今天的课程会不会有更难的知识点等待着她去攻克。

上午的课程是数学函数与导数的综合应用。老师在黑板上写下一道道复杂的例题，详细讲解着解题思路和方法。段玉玉全神贯注地听着，努力跟上老师的节奏。然而，随着课程的推进，那些抽象的概念和繁琐的计算让她渐渐感到吃力。

在做课堂练习时，段玉玉盯着一道题目，大脑一片空白。题目是这样的：已知函数f(x)=x^3 - 3ax^2 + 3x + 1，在区间(2，3)内存在极值点，求实数a的取值范围。她尝试了几种方法，都无法得出正确答案。看着周围的同学都在奋笔疾书，她心中越发着急，额头上冒出细密的汗珠。

林泽注意到了段玉玉的异样，他停下手中的笔，轻声问：“怎么了？遇到难题了？”

段玉玉沮丧地点点头：“嗯，这道题我试了好几种方法都不对，完全没思路。”

林泽探过头看了看题目，思考片刻后，说道：“你看，这道题关键在于要先对函数f(x)进行求导，得到f^\prime(x)=3x^2 - 6ax + 3。因为函数在区间(2，3)内存在极值点，所以f^\prime(x)在这个区间内有变号零点。这里你可以设一个辅助函数g(x)=x^2 - 2ax + 1，通过它来找到解题的突破口。也就是说，g(x)在(2，3)内与x轴有交点。”

林泽一边说着，一边在草稿纸上写下详细的步骤，耐心地给段玉玉讲解。“对于二次函数g(x)，对称轴是x = a。接下来分情况讨论，当a\leq2时，g(x)在(2，3)上单调递增，那么\begin{cases}g(2)=4 - 4a + 1\lt0\\g(3)=9 - 6a + 1\gt0\end{cases}，看看这种情况是否有解；当a\geq3时，g(x)在(2，3)上单调递减，那么\begin{cases}g(2)=4 - 4a + 1\gt0\\g(3)=9 - 6a + 1\lt0\end{cases}，判断这种情况；当2\lt a\lt3时，\Delta = 4a^2 - 4\gt0，并且g(2)与g(3)异号，这样就能确定a的取值范围了。”

在林泽的帮助下，段玉玉终于理清了思路，顺利解出了题目。

“呼，终于做出来了，林泽，多亏有你，不然我真不知道该怎么办了。”段玉玉长舒一口气，感激地说道。

“别这么说，大家一起学习就是要互相帮助嘛。函数与导数确实有些难，不过多做几道题，掌握了方法就好了。”林泽鼓励道。

课间休息时，段玉玉还在回味刚才那道难题，林泽则拿出一本课外的数学拓展书籍，翻到其中一页，说：“段玉玉，这上面有几道类似的题，难度稍微高一点，你想不想挑战一下？”

段玉玉看着那几道题目，心中有些犹豫。一方面，她对难题有些畏惧；另一方面，又想通过挑战来提升自己。

林泽似乎看出了她的心思，笑着说：“别怕，我会在旁边帮你的。要是遇到困难，咱们一起解决。这可是提升数学能力的好机会。”

段玉玉咬咬牙，点点头：“好，我试试。”

于是，两人开始研究那几道难题。段玉玉先仔细读题，尝试着按照林泽教的方法去分析题目。她在草稿纸上写满了各种思路和计算过程，但进展并不顺利。

就在这时，教室的投影仪突然出现故障，“啪”的一声，灯泡爆了，教室里瞬间暗了一下，随后应急灯亮起。同学们一阵骚乱，老师赶紧安抚大家不要惊慌，并联系工作人员来维修。

趁着这个间隙，林泽对段玉玉说：“别受影响，咱们继续。这道题其实和刚才那道思路类似，只是多了一些条件限制。你再从函数的定义域和值域角度思考一下。”

段玉玉深吸一口气，让自己平静下来，重新审视题目。在林泽的不断提示下，她逐渐找到了突破口，顺利解出了其中一道难题。

“哇，我做出来了！”段玉玉兴奋地说道，眼中闪烁着喜悦的光芒。

“很棒啊！你看，只要静下心来，难题也没那么可怕。”林泽笑着夸赞道。

在接下来的时间里，两人又一起攻克了剩下的几道难题。通过这次挑战，段玉玉对函数与导数的知识有了更深入的理解，也更加佩服林泽的数学能力。

经过这次意外和挑战，段玉玉和林泽之间的默契又增进了几分，他们在学习的道路上携手共进，期待着下一次的突破。