第二节 非线性控制

线性控制已成为一个成熟的理论，它有许多有效的方法，且在工业应用中具有相当长的成功历史，然而，越来越多的来自航空航天控制、机器人、过程控制、生物医学工程等领域的研究人员和设计师们对发展和应用非线性控制的方法论表现出强烈的兴趣，其原因主要有：

1）线性控制的一个假设是系统的模型可以被线性化，但在控制系统中有许多非线性因素的不连续性不具有线性近似，诸如干摩擦非线性、饱和非线性、死区非线性、间隙非线性等，因此，发展非线性技术来预测这些非线性因素所产生的效应，并运用适当的控制将其补偿掉，是一种可行的方法。

2）对非线性模型采用线性控制的另一假设是系统运动是小范围的，当所要求的运动范围大的时候，线性控制器效果变差，甚至不稳定，因为此时系统的非线性得不到恰当的补偿。

3）在设计线性控制器时，通常需要先假设系统模型的参数已知。但在许多控制问题中，可能会由于参数的慢时变或突然变化引起模型参数有不确定性。基于不准确或过时的模型参数值得到的线性控制器，其性能可能严重降低，甚至不稳定。因而，如果将非线性因素有意识地设计到控制器中，可以使模型的不确定性得到容忍，提高系统的鲁棒性和自适应性。

另外还有一些直接或间接的原因，比如设计的简化、费用或效益的优化等，导致不得不采用了线性控制器，然而，随着设计环境的提高和重视度的增加，非线性控制逐渐得到不可或缺的使用。非线性控制是一个极其重要的研究领域，它能够更加有效地处理实际控制问题，尤其是随着计算机技术的发展，计算难度大为降低，高效微处理器使得非线性控制器的实现变得简单，现代技术对于控制系统有着更为严格精确的设计规定，因而，非线性控制在控制工程中占有越来越显著的重要地位。

在短短的几十年里，非线性控制技术取得了实质性的进展，例如，最优控制、积分控制、时滞控制、鲁棒控制、自适应控制、模糊控制、神经网络控制、滑模控制、反馈线性化、反步法等。以下简单介绍几种与本书相关的非线性控制技术。

1.非线性最优控制

对于非线性最优控制，一方面，一些经典的方法有着繁杂的计算工作量及实现的不便性，例如，Hamilton-Jacobi-Bellman方程法，它可以给出最优解析解，但不幸的是在大多数情况下，这种偏微分方程是不能求得解析解且是不可能解出的；另一方面，一些简单的算法非常便于设计但却缺乏强有力的理论证明^[38]。一些转换的方法得到运用^[39-42]，例如，状态依赖Riccati方程法^[39,40]、逆优化方法^[41]。另外还有利用近似解求得系统的次优控制的方法，例如：基于级数展开的近似解法^[43]，该方法通过级数展开的方法求解HJB方程，利用解的无穷级数和近似最优控制；Galerkin逐次逼近法^[44]，直接将HJB方程化为一族非线性向量微分方程序列，利用解序列的极限逼近最优控制；状态依赖Riccati方程迭代方法^{[39],[40],[45,46]}，通过引入临时变量并在其邻域将时变Riccati矩阵展开成幂级数，将Riccati方程的求解转化为矩阵微分方程序列的求解问题，并进一步得到系统的次优控制律。对于时滞非线性系统，Kolmanovskii和Shaikhet^[47]运用动态规划方法设计了非线性时滞系统的最优控制；Balachandran^[48]运用Darboux不动点定理证明了非线性多时滞系统的最优控制解的存在性。本书第8章利用文献[48]的方法推导了非线性时滞系统最优振动控制并运用到悬架仿真中。

2.时滞控制

在过去对时滞的研究中，时滞对系统性能的负面影响一直是人们关注的焦点，即时滞会导致控制设计的复杂性，并且在稳定性和振荡方面具有潜在的灾难性^[49-51]。在当前的一些研究工作中，人们研究了延迟的有益特性，如阻尼镇定、时滞谐振器等^[51]。事实上，时滞具有镇定作用的概念已经在文献中出现过，例如文献[52]和[53]。基于这一思想，一系列积分器通过使用多个时滞链来镇定系统^[54]；通过在控制律中引入时滞来镇定混沌系统中的不稳定周期轨道^[55]；文献[56]证明了系统存在足够小的时滞，使得闭环稳定性仍然得到保证。关于时滞镇定作用的进一步讨论和想法可以从一些文献中找到^[57-59]。本书第4章利用时滞的正面镇定作用设计了单自由度半主动悬架控制。与主动悬架相比，半主动悬架的动力消耗要小得多。此外，半主动控制律比主动控制律简单得多。因此，一些半主动悬架可控阻尼器在工程实现中更具实用性，如电流变阻尼器、磁流变阻尼器等^[60-62]。本书第4章在单自由度半主动悬架的控制器中人为设计了时滞，在不容易设计或实现无时滞控制器的情况下，时滞控制器可能更有用且更具成本效益。

3.神经网络监督控制

汽车悬架控制在现代汽车研究中占有重要地位，为了在多个性能要求（如乘坐舒适性、道路保持性、道路损坏最小化等）之间实现折中，最优控制应该是一个更合适的选择，例如，线性二次型调节器是主要的传统技术之一^[63-65]，由此可知，最优控制可以使悬架以组合方式满足性能要求。但当行驶速度、路况、行驶环境等行驶条件发生变化时，应及时调整控制参数使控制律能够抑制振动，重要的是这种调整应该在满足性能要求的同时快速响应变化，显然，附带线下计算的最优减振控制很难实际实现这一目标。另外，如果采用基于神经网络（NNC）的控制器，由于NNC具有很强的泛化能力、学习能力和自适应能力，快速响应的问题很容易得到解决，这一优势在许多文献中都有报道，如文献[66-68]。一些技术可结合神经网络用于车辆悬架的控制，如预测控制^[69,70]、滑模控制^[71-73]、模糊逻辑^[73,74]、遗传算法^[75]、反步法^[76]。然而，在以往的研究中，很少有人研究车辆悬架的最优监督控制。本书第5章提出了一种神经网络监督最优减振控制设计方法，该模型由最优减振控制训练而成，前者在后者的监督下进行训练，根据不断变化的行驶条件及时在线调整权重。用于悬架模型的仿真示例验证了神经网络监督最优控制的优点和灵活性。

4.滑模变结构控制

人们已经提出了各种方法来解决扰动抑制问题，如H_∞控制^[77]、自适应控制^[78]、内模控制^[79]、滑模变结构控制（VSC）^[80]、最优控制^[81-83]，最优扰动抑制出现在各种应用中，例如车辆发动机^[81]、阻尼系统^[82]、航天器姿态控制^[83]。然而，在现实中，非线性、不确定性或时滞等因素对实际系统有很大的影响^[84-95]，尤其是在当今的大型信息通信系统中。非线性、不确定性或时滞等因素使系统和计算更加复杂和困难，此外，它还带来了实际参数与精确参数之间的差异。因此，在系统建模中必须考虑非线性、不确定性或时滞。近年来，这些问题引起了人们的广泛关注，出现了一系列设计此类系统的控制技术，如文献[84-103]所述。解决其中任何一个问题都不是一件容易的事，更不用说集中精力解决所有这些问题了。本书第6章对非线性不确定时滞系统的干扰抑制问题设计了滑模变结构控制，原因在于变结构控制对一大类不确定或干扰具有不敏感性^[103-107]。在以往的VSC研究中，一些文献给出了不确定或非线性系统的解^{[84],[103,107]}；一些文献给出了时滞系统的解^[88,89]；但很少有人关注非线性不确定和时滞系统。本书第6章针对一类非线性不确定时滞系统，提出了一种相对简单的变结构控制方法，它基于近似序列法^{[45],[99,100]}和有限谱分配法^[95,97]的结合：运用泛函变换方法将时滞系统转化为无时滞系统，将原问题从无穷维空间简化为有限维空间；采用近似序列法设计最优滑模面，将非线性滑模面简化为线性两点边值问题，并在变结构扰动抑制控制中设计了相应的补偿器，使非线性系统的非线性度达到最大；为了解决其物理实现问题，构造了一个降阶观测器来重构扰动状态向量，从而实现了基于观测器的动态变结构控制；最后，将所设计的变结构控制应用于一个具有非线性、不确定性和时滞特性的单轮汽车悬架模型，通过与开环系统的比较验证了所设计控制的有效性和简单性。

5.反馈线性化

反馈线性化的基本思想是：利用在控制器中设计的非线性项来抵消系统中的非线性项，然后对得到的线性系统设计控制器。这种方法被用来解决许多实际的非线性控制问题，尤其是可输入输出线性化或最小相位系统。但当系统模型具有参数不确定性和面临干扰时，这种方法不能保证闭环系统的鲁棒性。众所周知，汽车悬架在现实中表现出许多非线性行为^{[92]，[108，110]}。因此，为了建立一个真实的悬架模型，必须考虑非线性因素，以便对非线性效应进行补偿，以保持车辆在各种工况下的性能。在以往的研究中已经引入了许多方法，如非线性H_∞^[111，112]、滑模^[92]、自适应^[113]。本书第7章探讨了反馈线性化方法^[114，115]来解决非线性控制设计问题，该方法的一个优点是避免了求解非线性问题的沉重的数值计算负担，另一个优点则是与一些基于线性近似的方法（如Jacobi线性化、数值逼近）不同，它利用代数转换将非线性系统转换为完全或部分线性系统，从而使线性控制方法在解决问题中的应用成为可能^[116-118]。然而，对于时滞非线性系统反馈线性化的研究却很少，因为它确实是一个挑战。

目前，时滞问题因其对系统稳定性的潜在破坏性而备受关注。在主动悬架系统中，控制信道中不可避免地会产生时延。忽略时滞会使动态建模不精确，影响闭环稳定性。近年来，业界研究了主动悬架执行器动力学中存在时滞的尝试^{[18],[36,37],[119,120]}。与以往的研究不同，本书第7章探讨了用输入-输出反馈线性化方法设计时滞非线性悬架系统的非线性控制，该方法比其他非线性控制设计方法具有许多优点。另外，对于大多数非线性悬架模型，非线性是众所周知的^{[116]，[121-123]}，这促使我们采用反馈线性化方法来解决悬架非线性问题。首先，通过反馈线性化控制器中设计的非线性控制消除系统中的非线性项。然后，基于有限谱配置思想^[95,96]，将原时滞系统转化为等效无时滞系统，从而将无限维时滞系统的控制设计简化为有限维时滞系统。因此，在非线性控制律中设计了一个控制记忆项来补偿执行器延迟所产生的影响。同时，利用所设计的前馈控制项抑制了路面扰动的影响。此外，针对某些状态变量的物理不可实现性，本书作者提出了一种基于观测器的动态控制方法，解决了由控制时滞带来的预测控制器的物理实现问题。最后，本书作者通过与开环系统、无时滞补偿控制和Jacobi线性化控制的比较，验证了非线性反馈线性化控制的优越性。

6.输入-状态采样反馈控制

随着计算机在各个领域的广泛应用，自20世纪中叶以来，信号处理和控制已从以前直接模拟液压、气动和电气仪表连接到数字计算机控制器和模拟传感器的连接。到目前为止，有关采样数据建模与控制的文献已发表很多，如文献[124-128]。简单地说，采样系统的控制设计主要有两种策略。第一种策略设计一个离散时间控制器来镇定近似离散时间模型，例如文献[129-138]以及其中的参考文献。在非线性系统输入-状态稳定（ISS）方面，文献[135]通过采样数据具有扰动的非线性系统的近似离散时间模型设计了镇定控制器。文献[133]指出，如果连续时间闭环系统满足一定的耗散不等式，则闭环采样系统的离散时间模型将满足半全局实用意义上的类似耗散不等式。文献[131]和[132]研究了系统和测量干扰信号作用下的采样数据观测器。

在第二个策略框架中，控制器是针对连续时间模型设计的，该模型连接在取样器和保持器之间，例如文献[139-144]。在输入-状态稳定方面，文献[140]证明了全局状态镇定的条件。文献[143]根据相应离散时间系统的估计和描述样本间增长的函数，为采样数据非线性系统提供了一个显式的稳定性或输入-状态稳定估计。文献[144]提出了一种输出反馈形式的非线性系统抗干扰的采样控制方案。值得注意的是，文献[145]中的研究揭示了连续时间系统的控制器和ISS-Lyapunov函数与采样系统的控制器和ISS-Lyapunov函数之间的联系。此外，文献[146]采用精确采样控制器的截断来定义近似采样控制器，以解决实现问题。

尽管研究者已经取得了丰硕的成果，但仍有一些值得探讨的地方。研究者关心的本质是采样数据系统的性能是否接近原始的连续时间^[138,140]，即性能恢复特性。然而，在文献中，虽然已经通过许多复杂的控制和采样方案研究了ISS的特性，但是对于采样数据控制下的轨迹收敛性到连续时间控制还没有给出，如文献[131-135],[140],[144]。对于第一种策略，它忽略了系统在采样周期内的行为，这意味着在被忽略的周期内会出现一些意想不到的现象，如峰值、有限时间逃逸；此外，用于镇定近似模型的控制器可能无法镇定精确的离散时间模型^[136，138]。另外，对于采样数据系统的ISS特性的研究大多集中在状态反馈控制上，如文献[133-135],[140]。众所周知，状态反馈需要所有的物理状态都能被测量出来，这是一个理想的选择，而在实践工程中，由于物理和经济的原因，大多数情况是只测量物理状态的一部分来用于设计输出反馈控制。

在这种背景下，本书第9章致力于研究非线性采样系统的输出反馈控制设计问题，而且同时研究了采样点和相邻采样点时刻内两种情形下的行为。从ISS和轨迹收敛两个方面揭示了系统的性能恢复特性，即在存在扰动的情况下，采样数据闭环系统的轨迹不仅能够达到输入-状态稳定，而且接近连续时间系统的轨迹。具体地说，其特点包括：①所有的证明都是在存在扰动的情况下进行的，这是对文献[141]的一个扩展，该研究证明了渐近稳定和轨迹收敛，但没有考虑干扰；②这些性质不仅在采样点上，而且在采样点之间，这被第一种策略忽略了；③提出了一种通用的观测器形式，而不是一种特定的形式；④针对无差拍观测器（如文献[141]和[147]）或高增益观测器（如文献[139]和[142]）提出的峰值现象问题，给出了相应的饱和控制策略，通过仿真比较，验证了所提出的输出反馈采样控制器与状态反馈离散时间控制器的性能，证明了该策略的优点。

7.高增益观测器输出反馈控制

汽车悬架的研究已有几十年的历史，已提出的悬架控制多种多样，在实际工程中，由于不可测性或经济性的原因，状态反馈控制往往不能在物理上实现。为了解决这个问题，研究者们重构了不可测状态^[148，149]，但文献[149]所设计的观测器是开环的，这在实际应用中会面临很大的挑战。

扩展高增益观测器（EHGO）自提出以来，已有近十年的研究^[150]。与其他观测器相比，它的优点是不仅克服了建模的不确定性，而且通过它输出反馈恢复了系统在状态反馈下的性能。换句话说，如果状态反馈控制下的闭环系统是指数稳定的，那么输出反馈控制下的闭环系统也可以达到指数稳定，并且其轨迹将接近前者，这是高增益观测者相对于其他观测者的独特之处。然而，以前使用扩展高增益观测器的输出反馈控制主要集中在渐近稳定性上，很少涉及ISS，更不用说RISS了。但在实际工程中，所设计的控制不需要在任何时候都要求达到渐近稳定，有时达到RISS则可节省更多的能量和金钱。

为了设计车辆悬架的主动控制，一些研究的目标是渐近或指数镇定。但在现实中，人们不可能也不需要完全抑制来自道路垂直方向的振动。理想或可接受的情况是，振动可以被抑制在一定的范围内，而车内人员的身体不会意识到它。对于这种控制，在控制领域我们称之为实际稳定性或ISS。但实际上，只有RISS可以实现，因为实际物理值有其无法超越的限制^[151]。本书第10章旨在通过对这一问题的研究来发展前人的研究，即如何通过设计一个RISS意义上的汽车悬架EHGO来获得输出反馈控制、获得车辆悬架的RISS应满足什么条件，并且在仿真中验证了第9章所设计的采样控制器的有效性和优越性。