第二节 李雅普诺夫直接法

一、什么是李雅普诺夫直接法

早在1892年，俄国的李雅普诺夫就给出了研究稳定性的李雅普诺夫法：李雅普诺夫第一法和李雅普诺夫第二法。由于受到当时条件的限制，李雅普诺夫法在工程上并不实用。随着现代控制理论和计算技术的发展，应用李雅普诺夫法来研究控制系统的稳定性不仅是十分必要，而且是完全可能的了。这也就是在现代控制理论中又重提李雅普诺夫法的原因。

李雅普诺夫第一法是把非线性函数用近似级数表示，然后用近似方法解这个非线性方程；李雅普诺夫第二法不是通过解方程，而是通过一个叫作李雅普诺夫函数的纯量函数来判别系统的稳定性。由于李雅普诺夫第二法不用解方程就能直接判别系统的稳定性，所以又叫作李雅普诺夫直接法。

对于现代控制理论来说，李雅普诺夫直接法具有更明显的优越性。因为求解非线性系统和时变系统的状态方程一般都很困难，所以不用解方程就能确定系统的稳定性就显得更为优越。另外，用李雅普诺夫直接法不仅能判别系统是否稳定，还能分析线形或非线性系统的瞬时响应。因此在现代控制理论中引起重视的是李雅普诺夫直接法。

李雅普诺夫直接法是从能量的观点来分析系统的稳定性。如果一个系统储存的能量是逐渐衰减的，这个系统就是稳定的，反之，如果系统不断从外界吸收能量，系统的能量越来越大，这个系统就是不稳定的。李雅普诺夫直接法就是个普遍的方法，李雅普诺夫函数V(x）不仅限于是能量函数，实际上很多复杂的系统往往不能直观地找到能量函数，可以把V(x）看成虚构的能量函数，只要能找到纯量函数V(x)，根据V(x）和dV(x)/dx的符号就能判别系统的稳定性。这样一来，判别系统稳定性的问题就可以归结为寻找李雅普诺夫函数V(x）。过去，要想找到李雅普诺夫函数是靠试探，要凭人的经验和技巧，这也是李雅普诺夫直接法长期以来不能推广的主要障碍。数字计算机的发展使这一障碍正在逐渐得以清除，就像数字计算机把整个控制理论从频域带回时域一样，它也把稳定性的判别从奈奎斯特判据等带回到李雅普诺夫直接法。由数字计算机不仅可以找到所需要的李雅普诺夫函数，而且还能找到系统的稳定区域。

二、李雅普诺夫直接法

（一）关于李雅普诺夫函数V（x）符号性质的几个定义

1.关于V(x)=0是正定、半正定、负定及不定的定义

若x=0时，V(x)=0，而x≠0时，V(x)＞0，则V(x）叫作正定的。

若除了x=0及某些状态时以外，V(x）都是正的，则V(x）就叫作半正定。

若-V(x）是正定的，则V(x）就是负定的。

若-V(x）是半正定的，则V(x）就是半负定的。

若V(x）既可为正也可为负的，则V(x）就叫作不定的。

2.二次型标量函数的正定性

二次型标量函数V(x）可以表示为

式中，P为对称矩阵；二次型函数V(x）的正定性可用Sylvester准则来判断：二次型函数V(x）为正定的充要条件是矩阵P为正定矩阵，即P的主子行列式为正，即

（二）关于李雅普诺夫直接法的三个定理

针对稳定、渐近稳定和不稳定三种情况，下面不加证明地给出李雅普诺夫三个定理。这三个定理给出了系统稳定性的充分条件，而不是必要条件。

定理2.1 如果存在一个李雅普诺夫函数V(x)，它满足：

（1）V（x）对于所有的x具有连续的一阶偏导数；

（2）V（x）是正定的，即＞0；

（3）=dV(x)/dx是半负定的，即当x≠0时，≤0。

那么由状态方程描述的系统在原点附近就是稳定的，其中为纯量函数V(x）沿系统的状态轨迹方向计算的时间导数，即

令∇V=，并将∇V称为V的梯度，则有

这个定理要求是半负定的，即其中包括有=0的情况。实际上如果一个正定函数V(x)，它的导数始终为零，那么系统就保持在一个极限环上。对于这种情况，在原点处的平衡状态在李雅普诺夫意义下也认为是稳定的。

定理2.2 如果存在一个李雅普诺夫函数V(x)，它满足：

（1）V(x）对于所有的x具有连续的一阶偏导数；

（2）V(x）是正定的；

（3）=dV(x)/dx是负定的，其中是沿系统状态轨迹方向计算的时间导数。

那么这个系统就是渐近稳定的。若满足了以上条件以外，当时，V(x)→∞，系统就是在大范围内渐近稳定的。

定理2.3 如果存在一个李雅普诺夫函数V(x)，它满足：

（1）V(x）对于所有的x具有连续的一阶偏导数；

（2）V(x）是正定的；

（3）=dV(x)/dx是正定的，其中V(x）是沿系统状态轨迹方向计算的时间导数。

那么这个系统在原点附近就是不稳定的。

如上所述，以上3个定理给出了判断系统稳定性的充分但不必要条件，也就是说，如果找不到满足这些条件的李雅普诺夫函数，并不能断定系统是否稳定、渐近稳定或不稳定。至于怎样寻找李雅普诺夫函数，它正是目前人们正在不断探索与解决的问题。